Exercice 16, § 2

Dans un espace vectoriel topologique séparé $E$, soient $A, B$ deux ensembles convexes fermés. On suppose en outre que $B$ est localement compact et que $C_A \cap C_B = \{0\}$. Montrer que $A - B$ est fermé dans $E$. (Soient $b \in B$, $W$ un voisinage fermé de 0 dans $E$ tels que $B \cap (b + W)$ soit compact. Soit $c \in \overline{A - B}$; pour tout voisinage $V$ de 0 dans $E$, considérer l’ensemble $M_V$ des $y \in B$ tels que $A \cap (c + y + V) \neq \varnothing$. Considérer deux cas, suivant qu’il existe un $V$ pour lequel $M_V$ est relativement compact, ou qu’il n’existe pas de tel $V$; dans le second cas, considérer la base de filtre formée des ensembles $P_{V,n} = M_V \cap (b + nW)$ où $V$ parcourt l’ensemble des voisinages fermés de 0 dans $E$, et $n$ parcourt $\mathbf{N}$; former le cône de sommet $b$ engendré par $P_{V,n}$ et son intersection avec la frontière de $b + W$.)