Bài tập 16, § 2

Cho A, B là hai tập con lồi đóng của một không gian vectơ tôpô Hausdorff E. Giả sử thêm rằng B là compact địa phương và rằng $C_A \cap C_B = \{0\}$. Chứng minh rằng $A - B$ là đóng trong E. (Cho $b \in B$, và W là một lân cận đóng của 0 trong E sao cho $B \cap (b + W)$ là compact. Cho $c \in A - B$; với mọi lân cận V của 0 trong E xét tập hợp $M_V$ gồm các $y \in B$ sao cho $A \cap (c + y + V) \neq \varnothing$. Xét hai trường hợp tùy theo việc có tồn tại một V sao cho $M_V$ là compact tương đối, hoặc không tồn tại một V như vậy; trong trường hợp thứ hai, xét cơ sở lọc được tạo thành từ các tập hợp $P_{V,n} = M_V \cap (b + nW)$ trong đó V biến thiên trong tập hợp các lân cận đóng của 0 trong E và $n$ biến thiên trong $\mathbf{N}$; tạo hình nón với đỉnh b sinh bởi $P_{V,n}$ và giao của nó với biên của $b + W$).