Exercice 17, § 2

Dans un espace vectoriel topologique séparé $E$, on dit qu’un ensemble convexe fermé $A$ est parabolique si, pour tout $z \notin A$, il n’existe aucune demi-droite d’origine $z$, contenue dans $z + C_A$ et ne rencontrant pas $A$.

a) Donner un exemple d’ensemble convexe parabolique A dans $\mathbf{R}^2$ tel que $C_A$ ne soit pas réduit à une demi-droite. b) Soit A un ensemble convexe fermé dans E, tel que $C_A \neq \{0\}$, mais qui ne soit pas parabolique. Montrer que si $z \notin A$ est tel que $z + C_A$ contienne une demi-droite D d’origine z ne rencontrant pas A, l’enveloppe convexe de $A \cup \{z\}$ et le cône pointé de sommet z engendré par A ne sont pas fermés dans E. En outre, si D’ est la demi-droite fermée d’origine z opposée à D, $D' + A$ n’est pas fermé dans E, et il existe un plan P contenant D, et un ensemble convexe fermé $B \subset P$, tels que $B \cap A = \varnothing$, mais que la distance de B à P $\cap A$ (pour une norme quelconque sur P) soit nulle. c) Soit A un ensemble convexe fermé dans E, localement compact et parabolique ; montrer que pour tout ensemble convexe fermé $B \subset E$, $A - B$ est fermé (même méthode que dans l’exerc. 16). d) Soient A, A’ deux ensembles convexes fermés dans E, localement compacts et paraboliques ; montrer que l’enveloppe convexe de $A \cup A'$ est fermée dans E (même méthode que dans l’exerc. 16). Donner un exemple dans $\mathbf{R}^2$ où A est parabolique, A’ non parabolique et l’enveloppe convexe de $A \cup A'$ non fermée dans $\mathbf{R}^2$. e) Soit A un ensemble convexe fermé dans E, localement compact et parabolique ; montrer que pour tout $z \notin A$, le cône convexe pointé de sommet z engendré par A est fermé dans E (utiliser d)). f) Soient $E_1, E_2$ deux espaces vectoriels topologiques séparés, $A_1$ (resp. $A_2$) un ensemble convexe fermé dans $E_1$ (resp. $E_2$) et parabolique. Montrer que dans $E_1 \times E_2$, l’ensemble $A_1 \times A_2$ est parabolique. \* g) Montrer que dans un espace tonnelé de dimension infinie, il n’y a pas d’ensemble convexe fermé parabolique localement compact et non compact. h) Soit $E_0 = l^2(\mathbf{N})$, et dans $E_0$, soit K l’ensemble des points $x = (\xi_n)$ tels que l’on ait $|\xi_n| \leq 1/(n+1)$ pour tout n ; il est compact. Le cône E de sommet 0 engendré par K est un sous-espace vectoriel de $E_0$ et K est absorbant dans E. Soit $p$ la jauge de K dans E, qui est une fonction semi-continue inférieurement. Dans l’espace normé produit $E \times \mathbf{R}$, montrer que l’ensemble A des points $(x, \zeta)$ tels que $\zeta \geq (p(x))^2$ est fermé, convexe, parabolique et localement compact. Montrer que $A + (-A)$ et l’enveloppe convexe de $A \cup (-A)$ ne sont pas localement compacts. \*