Bài tập 17, § 2

Trong một không gian vectơ tôpô Hausdorff E, một tập lồi đóng A được gọi là parabolic nếu, với mọi $z \notin A$, mỗi nửa đường thẳng xuất phát từ z và được chứa trong $z + C_A$ đều gặp A. a) Cho một ví dụ về một tập lồi parabolic A trong $\mathbf{R}^2$ sao cho $C_A$ không chỉ là một nửa đường thẳng duy nhất. b) Cho A là một tập lồi đóng trong E sao cho $C_A \neq \{0\}$, nhưng A không parabolic. Chứng minh rằng nếu $z \notin A$ là điểm sao cho $z + C_A$ chứa một nửa đường thẳng D có điểm mút z không gặp A, thì cả bao lồi của $A \cup \{z\}$ lẫn nón nhọn với đỉnh z sinh bởi A đều không đóng trong E. Ngoài ra, nếu D' là nửa đường thẳng đóng xuất phát từ z và đối với D (sao cho $D = 2z - D'$) thì $D' + A$ không đóng trong E, và tồn tại một mặt phẳng P chứa D và một tập lồi đóng $B \subset P$, sao cho $B \cap A = \varnothing$ nhưng khoảng cách của B đến $P \cap A$ (theo bất kỳ chuẩn nào trên P) bằng không. c) Trong E, cho A là một tập lồi đóng địa phương compact và parabolic; chứng minh rằng nếu $B \subset E$, là đóng và lồi thì $A - B$ là đóng (cùng phương pháp như bài tập 16). d) Cho A, A' là hai tập con lồi đóng của E địa phương compact và parabolic; chứng minh rằng bao lồi của $A \cup A'$ là đóng trong E (cùng phương pháp như trong bài tập 16). Cho một ví dụ trong $\mathbf{R}^2$ trong đó A là parabolic, $A'$ là không parabolic và bao lồi của $A \cup A'$ không đóng trong $\mathbf{R}^2$.

e) Trong E, cho A là một tập lồi đóng địa phương compact và parabolic; chứng minh rằng với mọi $z \notin A$, nón lồi nhọn với đỉnh z, sinh bởi A, là đóng trong E (dùng d)).

f) Cho $E_1, E_2$ là hai không gian tôpô Hausdorff, $A_1$ (tương ứng $A_2$) là một tập lồi đóng trong $E_1$ (tương ứng $E_2$) cũng parabolic. Chứng minh rằng tập $A_1 \times A_2$ là parabolic trong $E_1 \times E_2$.

\* g) Chứng minh rằng một không gian barrelled có chiều vô hạn không chứa một tập lồi đóng parabolic vừa địa phương compact vừa không compact.

h) Cho $E_0 = l^2(\mathbf{N})$, và trong $E_0$, cho K là tập hợp các điểm $x = (\xi_n)$ sao cho $|\xi_n| \leq 1/(n+1)$ với mọi n; K là compact. Nón E có đỉnh 0 sinh bởi K là một không gian vectơ con của $E_0$ và K là hấp thụ trong E. Cho p là phiếm hàm gauge của K trong E; nó là một hàm nửa liên tục dưới. Trong không gian tích định chuẩn $E \times \mathbf{R}$, chứng minh rằng tập A gồm các điểm $(x, \zeta)$ sao cho $\zeta \geq (p(x))^2$ là đóng, lồi, parabolic và địa phương compact. Chứng minh rằng $A + (-A)$ và bao lồi của $A \cup (-A)$ không địa phương compact. \*