Exercice 20, § 2

a) Dans un espace vectoriel E, soit A un ensemble convexe engendrant E et dont l’intersection avec toute droite est fermée dans cette droite. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : α) Il existe une droite D telle que $D \cap A$ soit un segment compact non vide. β) Il existe une droite D telle que, pour toute droite D’ parallèle à D, $D' \cap A$ soit un segment compact. γ) A est distinct de E et n’est pas un demi-espace déterminé par un hyperplan de E. (Pour prouver que γ) implique α), utiliser l’exerc. 14, d) de II, p. 71, et se ramener au cas où $E = \mathbf{R}^2$.) b) Dans un espace vectoriel topologique séparé E, soit A un ensemble convexe fermé ayant un point intérieur. Montrer que si la frontière de A est une variété linéaire non vide, A est un demi-espace fermé (utiliser l’exerc. 14, d) de II, p. 71 pour montrer que la frontière de A est nécessairement un hyperplan, puis appliquer a)).