Bài tập 20, § 2

a) Trong một không gian vectơ E, cho A là một tập lồi sinh ra E và giao với mỗi đường thẳng là một tập đóng tương đối đối với đường thẳng đó. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: α) Tồn tại một đường thẳng D sao cho D giao với A theo một đoạn compact không rỗng. β) Tồn tại một đường thẳng D sao cho mọi đường thẳng song song với D giao với A theo một đoạn compact. γ) A phân biệt với E và không phải là một nửa không gian được xác định bởi một siêu phẳng của E. (Để chứng minh $\gamma \Rightarrow \alpha$ hãy dùng Bài tập 14, d) của II, p. 67, và rút gọn về trường hợp $E = \mathbf{R}^2$.) b) Trong một không gian vectơ tôpô Hausdorff E, cho A là một tập lồi đóng chứa một điểm trong. Chứng minh rằng nếu biên của A là một đa tạp tuyến tính không rỗng, thì A là một nửa không gian đóng (dùng Bài tập 14, d) của II, p. 67, để chứng minh rằng biên của A nhất thiết là một siêu phẳng, rồi áp dụng a)).