Exercice 21, § 2

a)** Dans l’espace $\mathbf{R}^n$, soient $A_i (1 \leq i \leq r)$ $r > n + 1$ ensembles convexes, tels que $r - 1$ quelconques des $A_i$ aient une intersection non vide ; montrer que les $r$ ensembles $A_i$ ont une intersection non vide (th. de Helly). (Soit $x_i$ un point de l’intersection des $A_j$ d’indice $j \neq i$; il existe $r$ nombres $\lambda_i$ non tous nuls tels que $\sum_{i=1}^r \lambda_i = 0$ et $\sum_{i=1}^r \lambda_i x_i = 0$; grouper dans cette dernière équation les termes correspondant aux $\lambda_i \geq 0$ et ceux correspondant aux $\lambda_i < 0$.) b) Soit $\mathscr{G}$ un ensemble de parties convexes et compactes de $\mathbf{R}^n$. Pour que l’intersection des ensembles de $\mathscr{G}$ soit non vide, il suffit que l’intersection de $n + 1$ quelconques d’entre eux soit non vide. c) Soient $K$ un ensemble convexe dans $\mathbf{R}^n$, $(A_i)_{1 \leq i \leq r}$ une famille de $r > n + 1$ ensembles convexes dans $\mathbf{R}^n$. On suppose que pour toute famille $(i_k)_{1 \leq k \leq n+1}$ d’indices $\leq r$, il existe $a \in \mathbf{R}^n$ tel que $a + K$ contienne tous les $A_{i_k}$ (resp. soit contenu dans tous les $A_{i_k}$, resp. ait une intersection non vide avec chacun des $A_{i_k}$). Montrer qu’il existe alors $b \in \mathbf{R}^n$ tel que $b + K$ contienne tous les $A_i$ (resp. soit contenu dans tous les $A_i$, resp. rencontre tous les $A_i$). (Considérer pour chaque indice $i$ l’ensemble $C_i$ des $x \in \mathbf{R}^n$ tels que $x + K \supset A_i$ (resp. $x + K \subset A_i$, resp. $(x + K) \cap A_i \neq \varnothing$).) Généraliser à un ensemble quelconque de parties convexes et compactes de $\mathbf{R}^n$.