Bài tập 21, § 2

a) Cho $A_i$ ($1 \leq i \leq r$) $r > n + 1$, là một họ các tập con lồi của $\mathbf{R}^n$ sao cho bất kỳ $r - 1$ tập nào trong các $A_i$ đều có giao rỗng; hãy chứng minh rằng $r$ tập $A_i$ có giao rỗng (định lý Helly). (Gọi $x_i$ là một điểm của giao của các $A_j$ với các chỉ số $j \neq i$; tồn tại $r$ số $\lambda_i$ không đồng thời bằng không và sao cho $\sum_{i=1}^r \lambda_i = 0$ và $\sum_{i=1}^r \lambda_i x_i = 0$; trong phương trình cuối này chuyển sang một vế các số hạng với $\lambda_i \geq 0$ và sang vế kia các số hạng với $\lambda_i < 0$.) b) Cho một họ các tập lồi compact trong $\mathbf{R}^n$, hãy chứng minh rằng giao của tất cả các tập của họ là không rỗng nếu giao của bất kỳ phép chọn $n + 1$ tập nào của họ là không rỗng. c) Trong $\mathbf{R}^n$, cho K là một tập lồi và $(A_i)_{1 \leq i \leq r}$ là một họ gồm $r > n + 1$ tập lồi. Giả sử rằng với mọi phép chọn $n + 1$ chỉ số $(i_k)$ mỗi chỉ số đều nhỏ hơn hoặc bằng r tồn tại $a \in \mathbf{R}^n$ sao cho $a + K$ chứa mỗi tập $A_{i_k}$. Hãy chứng minh rằng khi đó tồn tại $b \in \mathbf{R}^n$ sao cho $b + K$ chứa tất cả các $A_i$. Hãy chứng minh rằng các kết quả tương tự vẫn đúng nếu « chứa » được thay bằng « được chứa » hoặc bằng « giao với một tập rỗng ». (Với mỗi chỉ số i, xét tập $C_i$ của các $x \in \mathbf{R}^n$ sao cho $x + K \supset A_i$ (hoặc $x + K \subset A_i$, hoặc $(x + K) \cap A_i \neq \varnothing$)). Tổng quát hóa cho mọi họ các tập lồi compact của $\mathbf{R}^n$.

BÀI TẬP