Exercice 26, § 2

Dans un espace vectoriel topologique séparé $E$, soit $A$ un ensemble fermé connexe ayant la propriété suivante : pour tout $x \in A$, il existe un voisinage fermé $V$ de $x$ dans $E$ tel que $V \cap A$ soit convexe. Montrer que $A$ est convexe. Pour cela, on établira successivement les propriétés suivantes : a) Montrer que deux points quelconques de $A$ peuvent être joints par une ligne brisée contenue dans $A$ (même méthode que dans TG, VI, p. 21, exerc. 6). b) Montrer que si deux points de $A$ peuvent être joints par une ligne brisée de $n > 1$ côtés contenue dans $A$, ils peuvent aussi être joints par une ligne brisée de $n - 1$ côtés contenue dans $A$. (Par récurrence sur $n$, se ramener au cas $n = 2$, ce qui revient à considérer le cas $E = \mathbf{R}^2$; soit alors $T$ un triangle de sommets $a, b, c$, tel que les segments fermés $ac, bc$ soient contenus dans $A$, mais non le segment fermé $ab$; considérer un point adhérent à l’intersection de $\mathscr{C} A$ et de l’intérieur de $T$, dont la distance à la droite joignant $a$ et $b$ soit la plus grande possible, et montrer que l’existence d’un tel point est contradictoire avec l’hypothèse.)