Bài tập 26, § 2

Trong một không gian vectơ tôpô Hausdorff $E$, cho $A$ là một tập hợp đóng liên thông có tính chất sau: với mọi $x \in A$, tồn tại một lân cận đóng $V$ của $x$ trong $E$ sao cho $V \cap A$ là lồi. Hãy chứng minh rằng $A$ là lồi. Để làm điều này, hãy thiết lập các mệnh đề sau. a) Chứng minh rằng hai điểm bất kỳ của $A$ có thể được nối với nhau bởi một đường gấp khúc trong $A$ (cùng phương pháp như GT, VI, § 1, bài tập 6). b) Chứng minh rằng, nếu hai điểm trong $A$ có thể được nối với nhau bởi một đường gấp khúc trong $A$ có $n > 1$ đoạn, thì chúng cũng có thể được nối trong $A$ bởi một đường gấp khúc có $n - 1$ đoạn. (Quy nạp trên $n$ đưa về trường hợp $n = 2$, tương đương với việc lấy $\mathbf{R}^2$ làm $E$; khi đó cho $T$ là một tam giác có các đỉnh $a, b, c$ sao cho các đoạn đóng $ac, bc$ được chứa trong $A$, nhưng đoạn đóng $ab$ thì không; xét một điểm thuộc bao đóng của giao của $\mathscr{C} A$ và phần trong của $T$ ở xa đường thẳng $ab$ nhất, và chứng minh rằng sự tồn tại của một điểm như vậy mâu thuẫn với giả thiết.)