Exercice 3, § 2

Dans un espace vectoriel E, soient A et B deux ensembles convexes sans point commun. Montrer qu’il existe dans E deux ensembles convexes C, D sans point commun tels que $A \subset C, B \subset D$ et $C \cup D = E$. (Appliquer le th. 2 de E, III, p. 20 à l’ensemble des couples (M, N) d’ensembles convexes sans point commun tels que $A \subset M$ et $B \subset N$ et exprimer le fait que M et N ne se rencontrent pas par la relation $0 \notin M - N$. Pour montrer que $C \cup D = E$, raisonner par l’absurde, en considérant un point $x_0 \notin C \cup D$; si $C'$ (resp. $D'$) est l’enveloppe convexe de $C \cup \{ x_0 \}$ (resp. $D \cup \{ x_0 \}$), montrer qu’il est impossible qu’on ait à la fois $C' \cap D \neq \varnothing$ et $C \cap D \neq \varnothing$.)