Bài tập 3, § 2

Cho A và B là hai tập hợp lồi rời nhau trong một không gian vectơ E. Chứng minh rằng tồn tại hai tập hợp lồi rời nhau C, D trong E sao cho $A \subset C, B \subset D$ và $C \cup D = E$. (Áp dụng định lý 2 của S, III, § 2.4 cho tập hợp các cặp tập hợp lồi rời nhau (M, N) sao cho $A \subset M$ và $B \subset N$ và biểu thị sự kiện M và N không giao nhau bằng quan hệ $0 \notin M - N$. Để chứng minh rằng $C \cup D = E$, hãy thu được một mâu thuẫn bằng cách giả sử rằng $x_0 \notin C \cup D$; nếu $C'$ (tương ứng $D'$) là bao lồi của $C \cup \{ x_0 \}$ (tương ứng $D \cup \{ x_0 \}$), hãy chứng minh rằng không thể xảy ra đồng thời $C' \cap D \neq \varnothing$ và $C \cap D' \neq \varnothing$.)