Exercice 30, § 2

a) Donner un exemple de fonction convexe définie dans un ensemble compact convexe K de $\mathbf{R}^2$, semi-continue inférieurement et bornée dans K, mais non continue en un point de la frontière de K (considérer la jauge d’un disque dont 0 est point frontière). b) Déduire de a) un exemple de fonction convexe définie dans un demi-plan ouvert D de $\mathbf{R}^2$, non majorée dans D et ne tendant vers aucune limite en un point frontière de D. c) Déduire de a) un exemple de fonction convexe semi-continue inférieurement dans un ensemble convexe compact A de $\mathbf{R}^2$, mais non majorée dans A (prendre pour A l’ensemble des $(\xi, \eta)$ tels que $\xi^4 \leq \eta \leq 1$ dans $\mathbf{R}^2$).