Bài tập 30, § 2

(a) Cho một ví dụ về một hàm lồi được xác định trên một tập con lồi compact K của $\mathbf{R}^2$, bị chặn và nửa liên tục dưới trong K, nhưng không liên tục tại một điểm của biên của K (xét hàm gauge của một đĩa mà 0 là một điểm biên). (b) Suy ra từ (a) một ví dụ về một hàm lồi được xác định trong một nửa mặt phẳng mở D của $\mathbf{R}^2$, không bị chặn trên trong D và không tiến tới một giới hạn tại một điểm biên của D. (c) Suy ra từ (a) một ví dụ về một hàm lồi nửa liên tục dưới được xác định trên một tập con lồi compact A của $\mathbf{R}^2$ nhưng không bị chặn trên trong A. (Lấy A là tập hợp các điểm $(\xi, \eta)$ sao cho $\xi^4 \leq \eta \leq 1$ trong $\mathbf{R}^2$.)