Exercice 32, § 2

Dans un espace vectoriel topologique séparé $E$, soient $K$ un ensemble convexe compact, $f$ une fonction convexe dans $K$, semi-continue supérieurement. Montrer que $f$ est bornée dans $K$. (Observer d’abord que $f$ est majorée dans $K$; si $f$ n’était pas minorée dans $K$, montrer que l’on aurait $\liminf_{y \to x, y \neq x} f(y) = -\infty$ pour tout point $x \in K$, et que cela violerait le th. de Baire.) Donner un exemple où $f$ n’est pas continue.