Bài tập 32, § 2

Cho K là một tập lồi compact trong một không gian vectơ tôpô Hausdorff E và cho $f$ là một hàm lồi nửa liên tục trên xác định trên K. Chứng minh rằng $f$ bị chặn trên K. (Trước hết hãy nhận xét rằng $f$ bị chặn trên trong K; nếu $f$ không bị chặn dưới hãy chứng minh rằng $\liminf_{y \to x, y \neq x} f(y) = -\infty$ đối với mọi điểm $x \in K$, và điều này mâu thuẫn với định lý Baire.) Cho một ví dụ trong đó $f$ không liên tục.