Exercice 39, § 2

Soit $E$ un espace vectoriel topologique séparé de dimension finie. a) Soit $\mathfrak{F}(E)$ l’ensemble des parties fermées non vides de $E$, muni de la structure uniforme déduite de la structure uniforme de $E$ par le procédé de TG, II, p. 34, exerc. 5, a). Montrer que, dans cet espace, l’ensemble $\mathfrak{C}(E)$ des parties convexes fermées non vides de $E$ est fermé. En déduire que si $K$ est un ensemble compact dans $E$, l’ensemble des parties convexes fermées non vides de $E$ contenues dans $K$ est un ensemble compact dans $\mathfrak{C}(E)$ ($cf.$ TG, II, p. 37, exerc. 11). b) Soit $\mathfrak{R}_0(E)$ l’ensemble des parties convexes compactes de $E$ ayant 0 pour point intérieur. Pour tout ensemble $A \in \mathfrak{R}_0(E)$, soit $p_A$ la jauge de $A$ (II, p. 22). Montrer que $A \mapsto p_A$ est un isomorphisme du sous-espace uniforme $\mathfrak{R}_0(E)$ de $\mathfrak{C}(E)$ sur un sous-espace de l’espace $\mathfrak{C}_c(E; \mathbf{R})$ des fonctions numériques continues dans $E$, muni de la structure uniforme de la convergence compacte (TG, X, p. 7).