Bài tập 39, § 2

Cho E là một không gian vectơ tôpô Hausdorff hữu hạn chiều. a) Cho $\mathfrak{F}(E)$ là họ các tập hợp đóng không rỗng của E, mang cấu trúc đều suy ra từ cấu trúc đều của E theo thủ tục của GT, II, § 1, bài tập 5, a). Chứng minh rằng, tập hợp $\mathfrak{C}(E)$ gồm các tập hợp lồi đóng không rỗng của E, là đóng trong không gian $\mathfrak{F}(E)$. Suy ra rằng nếu K là một tập compact trong E, thì tập hợp các tập hợp lồi đóng không rỗng trong E được chứa trong K, là một tập compact trong $\mathfrak{C}(E)$ ($cf.$ GT, § 4, bài tập 11). b) Cho $\mathfrak{K}_0(E)$ là tập hợp các tập con lồi compact của E chứa 0 như một điểm trong. Với mỗi tập hợp $A \in \mathfrak{K}_0(E)$, cho $p_A$ là gauge của A (II, p. 20). Chứng minh rằng $A \mapsto p_A$ là một đẳng cấu của không gian con đều $\mathfrak{K}_0(E)$ của $\mathfrak{C}(E)$ lên một không gian con của không gian $\mathscr{C}_c(E; \mathbf{R})$ gồm các hàm giá trị thực liên tục trong E, mang cấu trúc đều của hội tụ compact (GT, X, § 1.6).