Exercice 41, § 2

Soient E un espace vectoriel, H un hyperplan dans E ne contenant pas 0, S un ensemble convexe contenu dans H. a) Supposons que l’intersection de S et de toute droite dans H soit un segment compact. Soient $a, b$ deux points distincts de E tels qu’il existe deux nombres $\lambda > 0, \mu > 0$ pour lesquels $b + \mu S \subset a + \lambda S$; montrer que si c est le point où la droite joignant $a$ et $b$ rencontre l’hyperplan H’ parallèle à H contenant $a + \lambda S$, on a $c \in b + \mu S$ et $b + \mu S$ est l’image de $a + \lambda S$ par une homothétie de centre c transformant $a$ en $b$. (Se ramener au cas où E est de dimension 2.) b) Avec la même hypothèse sur S, soient $a, b$ deux points distincts de E, et supposons qu’il existe un point $c \in E$ et trois nombres $\lambda > 0, \mu > 0, v \geq 0$ tels que $(a + \lambda S) \cap (b + \mu S) = c + vS$. Montrer que si A (resp. B) est le cône de sommet $a$ (resp. $b$) engendré par $a + \lambda S$ (resp. $b + \mu S$), et H” l’hyperplan parallèle à H passant par $c$, on a $H'' \cap A \cap B = \{c\}$ (utiliser $a$). c) On suppose en outre que H soit la variété linéaire affine engendrée par S. Soit C le cône de sommet 0 engendré par S. Montrer que les deux conditions suivantes sont équivalentes : α) E est réticulé pour l’ordre sur E dont C est l’ensemble des éléments $\geq 0$. β) Quels que soient les points $x, y$ de E et les nombres $\lambda > 0, \mu > 0$ tels que l’ensemble $(x + \lambda S) \cap (y + \mu S)$ ne soit pas vide, il existe $z \in E$ et $v \geq 0$ tels que cet ensemble soit égal à $z + vS$. (Pour prouver que α) entraîne β), se ramener au cas où $y = 0$, et utiliser le fait que si $(s_i)$ est une famille finie de points de S et $(\lambda_i)$ une famille de nombres réels tels que $\sum_i \lambda_i s_i = 0$, alors $\sum_i \lambda_i = 0$. Pour prouver que β) entraîne α), utiliser b).)

Lorsque S vérifie les conditions équivalentes α) et β), on dit que S est un simplexe dans E. Lorsque E est de dimension finie, l’enveloppe convexe d’un ensemble fini de points affinement indépendants dans H engendrant H est un simplexe \* (la réciproque est d’ailleurs vraie : cf. INT, II, 2e éd., § 2, exerc. 7). \*