Bài tập 41, § 2

Cho H là một siêu phẳng trong một không gian vectơ E không chứa 0 và cho S là một tập lồi được chứa trong H. a) Giả sử rằng giao của S với mỗi đường thẳng trong H là một đoạn compact. Cho $a, b$ là hai điểm phân biệt của E sao cho tồn tại hai số $\lambda > 0, \mu > 0$ mà $b + \mu S \subset a + \lambda S$; chứng minh rằng nếu c là điểm mà đường thẳng nối a và b cắt siêu phẳng H' song song với H chứa $a + \lambda S$, thì $c \in b + \mu S$ và $b + \mu S$ là ảnh của $a + \lambda S$ qua một phép vị tự tâm c biến a thành b. (Rút gọn về trường hợp E có số chiều 2.) b) Với cùng các giả thiết trên S, cho $a, b$ là hai điểm phân biệt của E và giả sử rằng tồn tại một điểm $c \in E$ và ba số $\lambda > 0, \mu > 0, v \geq 0$ sao cho $(a + \lambda S) \cap (b + \mu S) = c + vS$. Chứng minh rằng nếu A (tương ứng B) là hình nón đỉnh $a$ (tương ứng $b$) sinh bởi $a + \lambda S$ (tương ứng $b + \mu S$), và H'' là siêu phẳng song song với H đi qua c, thì $H'' \cap A \cap B = \{ c \}$ (sử dụng a)). c) Giả sử rằng H là đa tạp tuyến tính affine sinh bởi S. Cho C là hình nón đỉnh 0 sinh bởi S. Chứng minh rằng hai điều kiện sau là tương đương: $\alpha)$ E là một dàn đối với cấp trên E mà C là tập hợp các phần tử $\geq 0$. $\beta)$ Với mọi điểm $x, y$ của E và các số $\lambda > 0, \mu > 0$ sao cho tập hợp $(x + \lambda S) \cap (y + \mu S)$ không rỗng, tồn tại $z \in E$ và $v \geq 0$ sao cho tập hợp này là $z + vS$. (Để chứng minh $\alpha$ suy ra $\beta$), rút gọn về trường hợp $y = 0$ và sử dụng sự kiện rằng nếu $(s_i)$ là một họ hữu hạn các điểm của S và $(\lambda_i)$ là một họ các số thực sao cho $\sum_i \lambda_i s_i = 0$, thì $\sum_i \lambda_i = 0$. Để chứng minh $\beta$ suy ra $\alpha$, sử dụng b). Khi S thỏa mãn các điều kiện tương đương $\alpha$ và $\beta$, ta nói rằng S là một đơn hình trong E. Khi E có số chiều hữu hạn, bao lồi của một tập hợp hữu hạn các điểm độc lập affine trong H và sinh H là một đơn hình \* (đảo lại cũng đúng : $cf.$ INT, II, 2nd ed., § 2, exerc. 7)). \*