Exercice 43, § 2

Soit K un corps valué complet dont la valeur absolue est ultramétrique. Dans un espace vectoriel à gauche E sur K, on dit qu’un ensemble A est ultraconvexe si les relations $x \in A, y \in A, |\lambda| \leq 1, |\mu| \leq 1$ entraînent $\lambda x + \mu y \in A$. a) Généraliser aux ensembles ultraconvexes les prop. 1, 2, 5, 6, 7 de II, p. 8 à 10. Montrer que le plus petit ensemble ultraconvexe contenant un ensemble donné M est l’ensemble des combinaisons linéaires $\sum_i \lambda_i x_i$, où $x_i \in M$ et $|\lambda_i| \leq 1$ pour tout i. b) On suppose que E est un espace vectoriel topologique sur K. Montrer que l’adhérence d’un ensemble ultraconvexe est ultraconvexe, et qu’un ensemble ultraconvexe d’intérieur non vide est ouvert. c) Soit A un ensemble ultraconvexe et absorbant dans E. Montrer que si, pour tout $x \in E$, on pose $p(x) = \inf_{x \in \rho A} |\rho|$, $p$ est une ultra-semi-norme sur E (II, p. 2). Généraliser la prop. 23 de II, p. 22 ; cas où la valeur absolue de K est déduite d’une valuation discrète.