Bài tập 43, § 2

Cho K là một vành chia định giá đầy đủ mà giá trị tuyệt đối là một metric siêu. Trong một không gian vectơ trái E trên K, ta nói rằng một tập hợp A là lồi siêu nếu các hệ thức $x \in A, y \in A, |\lambda| \leq 1, |\mu| \leq 1$ kéo theo $\lambda x + \mu y \in A$. a) Tổng quát hóa các Mệnh đề 1, 2, 5, 6, 7 của II, p. 8 và p. 9. Chứng minh rằng tập hợp lồi siêu nhỏ nhất chứa một tập hợp M đã cho là tập hợp các tổ hợp tuyến tính $\sum \lambda_i x_i$, trong đó $x_i \in M$ và $|\lambda_i| \leq 1$ với mọi i. b) Giả sử rằng E là một không gian vectơ tôpô trên K. Chứng minh rằng bao đóng của một tập hợp lồi siêu là lồi siêu, và rằng một tập hợp lồi siêu có phần trong không rỗng là mở. c) Cho A là một tập hợp hấp thụ và lồi siêu trong E. Chứng minh rằng nếu, với mọi $x \in E$, ta đặt $p(x) = \inf_{x \in \rho A} |\rho|$, thì p là một chuẩn bán siêu trên E (II, p. 2). Tổng quát hóa Mệnh đề 23 của II, p. 20, cho trường hợp giá trị tuyệt đối của K thu được từ một định giá rời rạc.