Exercice 5, § 2

Soit E un espace vectoriel admettant une base infinie dénombrable $(e_n)_{n \in \mathbf{N}}$. Soit C l’ensemble des points $x = \sum_n \xi_n e_n$ tels que, pour le plus grand indice n tel que $\xi_n \neq 0$, on ait $\xi_n > 0$.

Montrer que C est un cône convexe pointé tel que $C \cap (-C) = \{0\}$ et $C \cup (-C) = E$; en déduire que C est l’ensemble des éléments $\geqslant 0$ dans E, pour une structure d’ordre compatible avec la structure d’espace vectoriel de E, et pour laquelle E est totalement ordonné. Montrer que sur cet espace vectoriel ordonné la seule forme linéaire positive est 0.