Exercice 9, § 2

Soit A une partie d’un espace $\mathbf{R}^n$.

a) Montrer que l’enveloppe convexe de A est identique à l’ensemble des points $\sum_{i=0}^n \lambda_i x_i$, où $x_i \in A$, $\lambda_i \geqslant 0$ pour $0 \leqslant i \leqslant n$, et $\sum_{i=0}^n \lambda_i = 1$. (On établira d’abord le lemme suivant : si $p + 1$ points $x_i$ ($0 \leqslant i \leqslant p$) forment un système affinement lié (c’est-à-dire s’il existe une relation $\sum_{i=0}^p \beta_i x_i = 0$ où les $\beta_i$ ne sont pas tous nuls et $\sum_{i=0}^p \beta_i = 0$) et si $x = \sum_{i=0}^p \alpha_i x_i$, où les $\alpha_i$ sont $\geqslant 0$ et $\sum_{i=0}^p \alpha_i = 1$, alors il existe un indice $k \leqslant p$ et $p$ nombres $\gamma_i$ ($0 \leqslant i \leqslant p, i \neq k$) tels que $\gamma_i \geqslant 0$ pour tout $i$, $\sum_{i \neq k} \gamma_i = 1$ et $x = \sum_{i \neq k} \gamma_i x_i$; pour cela, on comparera ceux des nombres $\alpha_i / \beta_i$ qui sont définis.)

b) Soit a un point de l’enveloppe convexe de A qui n’appartient à l’enveloppe convexe d’aucune partie de A ayant au plus $n$ éléments. Montrer alors que A possède au moins $n + 1$ composantes connexes. (On peut supposer que $a = 0$; soit $(b_i)_{0 \leqslant i \leqslant n}$ une famille de $n + 1$ points de A, affinement libre et telle que 0 appartienne à l’enveloppe convexe des $b_i$ (cf. a)). Pour chaque indice $i$, soit $C_i$ le cône convexe pointé de sommet 0 engendré par les $b_j$ d’indice $j \neq i$; montrer que A ne rencontre la frontière d’aucun des cônes — $C_i$.

c) Si C est un cône pointé de sommet 0 dans $\mathbf{R}^n$, montrer que l’enveloppe convexe de C est identique à l’ensemble des points $\sum_{i=1}^n x_i$, où $x_i \in C$ pour $1 \leqslant i \leqslant n$.