Bài tập 9, § 2

Cho A là một tập con của không gian $\mathbf{R}^n$. a) Chứng minh rằng bao lồi của A trùng với tập hợp các điểm $\sum_{i=0}^n \lambda_i x_i$, trong đó $x_i \in A$, $\lambda_i \geq 0$ với $0 \leq i < n$, và $\sum_{i=0}^n \lambda_i = 1$. (Thiết lập bổ đề sau; nếu $p + 1$ điểm $x_i$ ($0 \leq i \leq p$) tạo thành một hệ phụ thuộc afin (nghĩa là tồn tại một quan hệ $\sum_{i=0}^p \beta_i x_i = 0$ trong đó các $\beta_i$ không đồng thời bằng không và $\sum_{i=0}^p \beta_i = 0$) và nếu $x = \sum_{i=0}^p \alpha_i x_i$, trong đó các $\alpha_i$ là $\geq 0$ và $\sum_{i=0}^p \alpha_i = 1$, thì tồn tại một chỉ số $k \leq p$ và $p$ số $\gamma_i$ ($0 \leq i \leq p, i \neq k$) sao cho $\gamma_i \geq 0$ với mọi $i$, $\sum_{i \neq k} \gamma_i = 1$ và $x = \sum_{i \neq k} \gamma_i x_i$; để làm điều này hãy so sánh các số $\alpha_i / \beta_i$ được xác định.) b) Cho $a$ là một điểm của bao lồi của A không thuộc bao lồi của bất kỳ tập con nào của A có nhiều nhất $n$ điểm. Khi đó chứng minh rằng A chứa ít nhất $n + 1$ thành phần liên thông. (Ta có thể giả sử rằng $a = 0$; cho $(b_i)_{0 \leq i \leq n}$ là một họ gồm $n + 1$ điểm độc lập afin của A sao cho 0 thuộc bao lồi của các $b_i$ (xem a)). Với mỗi chỉ số $i$, cho $C_i$ là nón lồi nhọn đỉnh 0 được sinh bởi các $b_j$ có chỉ số $j \neq i$; chứng minh rằng A không gặp biên của bất kỳ nón nào trong các nón — $C_i$. c) Nếu C là một nón nhọn đỉnh 0 trong $\mathbf{R}^n$, chứng minh rằng bao lồi của C là tập hợp các điểm $\sum_{i=1}^n x_i$, trong đó $x_i \in C$ for $1 \leq i \leq n$.