Exercice 3, § 3

Soient E un espace vectoriel sur $\mathbf{R}$, $p$ une fonction sous-linéaire (II, p. 21) sur E. Soit A un ensemble convexe tel que $\inf_{y \in A} p(y) > -\infty$. a) Montrer que la fonction

est une fonction sous-linéaire sur E telle que $-p(-x) \leqslant q(x) \leqslant p(x)$. b) Montrer qu’il existe une forme linéaire $h$ sur E telle que $h(x) \leqslant p(x)$ dans E et que $\inf_{y \in A} p(y) = \inf_{y \in A} h(y)$ (prendre $h$ telle que $h(x) \leqslant q(x)$).