Exercice 5, § 3

Soient E un espace vectoriel sur $\mathbf{R}$, $p$ une fonction sous-linéaire sur E, A une partie non vide de E. On suppose que, pour tout couple de points $x, y$ de A, il existe $z \in A$ tel que $p(z - (x + y)) \leqslant 0$, et que $p(x) \geqslant 0$ pour tout $x \in A$. Montrer qu’il existe une forme linéaire $h$ sur E telle que $h(x) \leqslant p(x)$ dans E et que $h(x) \geqslant 0$ pour $x \in A$. (Appliquer l’exercice 4, c) à l’ensemble réunion des $\frac{1}{n} A$ pour $n$ entier $\geqslant 1$.)