Exercice 14, § 4

Soit E une limite inductive stricte d’une suite croissante d’espaces localement convexes $E_n$ (II, p. 36). Montrer que la topologie de E est la plus fine des topologies compatibles avec la structure d’espace vectoriel de E, localement convexes ou non, et induisant sur $E_n$ une topologie moins fine que la topologie donnée $\mathscr{T}_n$. (Soient $V_0$ un voisinage de 0 pour une telle topologie $\mathscr{T}$, $(V_n)_{n \geqslant 0}$ une suite de voisinages de 0 pour $\mathscr{T}$ telle que $V_{n+1} + V_{n+1} \subset V_n$ pour tout $n \geqslant 0$; pour tout $n \geqslant 1$, considérer dans $E_n$ un voisinage convexe $W_n$ de 0 contenu dans $E_n \cap V_n$, et prendre dans E l’enveloppe convexe de la réunion des $W_n$.)