Bài tập 14, § 4

Cho E là giới hạn quy nạp ngặt của một dãy tăng các không gian lồi địa phương $E_n$ (II, p. 33). Chứng minh rằng tôpô của E là tôpô mịn nhất trong các tôpô tương thích với cấu trúc không gian vectơ của E, dù lồi địa phương hay không, và cảm sinh trên $E_n$ một tôpô thô hơn tôpô đã cho $\mathscr{T}_n$. (Cho $V_0$ là một lân cận của 0 đối với một tôpô $\mathscr{T}$ như vậy và $(V_n^n)_{n \geq 0}$ là một dãy các lân cận của 0 đối với $\mathscr{T}$ sao cho $V_{n+1}^{n+1} + V_{n+1}^{n+1} \subset V_n^n$ với mọi $n \geq 0$; với mọi $n \geq 1$, xét trong $E_n$ một lân cận lồi $W_n^n$ của 0 được chứa trong $E_n \cap V_n$, và lấy bao lồi của hợp các $W_n^n$ trong E.)