Exercice 15, § 4

Soit I un ensemble infini non dénombrable. Soient $\mathfrak{F}(I)$ l’ensemble des parties finies de I, E l’espace somme directe $\mathbf{R}^{(I)}$, et pour tout $J \in \mathfrak{F}(I)$, soit $F_J$ le sous-espace $\mathbf{R}^J$ de E produit des facteurs d’indice appartenant à J, muni de la topologie produit ; soit $g_J$ l’injection canonique de $F_J$ dans E. Montrer qu’il existe sur E une topologie $\mathscr{T}_0$ compatible avec la structure d’espace vectoriel de E, rendant continues les $g_J$, et strictement plus fine que la topologie localement convexe la plus fine $\mathscr{T}$ rendant continues les $g_J$. (Observer que l’ensemble V des $x = (\xi_i)_{i \in I}$ dans E tels que $\sum_{i \in I} |\xi_i|^{1/2} \leqslant 1$ est un voisinage de 0 pour une topologie compatible avec la structure d’espace vectoriel de E, mais ne contient aucun ensemble convexe symétrique et absorbant.)