Bài tập 15, § 4

Cho I là một tập hợp vô hạn không đếm được. Gọi $\mathfrak{F}(I)$ là họ các tập con hữu hạn của I và E là không gian tổng trực tiếp $\mathbf{R}^{(I)}$. Với mọi $J \in \mathfrak{F}(I)$, gọi $F_J$ là không gian con $\mathbf{R}^J$ của E, là tích của các nhân tử có chỉ số thuộc J, với tôpô tích; gọi $g_J$ là đơn ánh chính tắc của F_j vào E. Chứng minh rằng tồn tại một tôpô $\mathscr{T}_0$ trên E tương thích với cấu trúc không gian vectơ của E, làm cho các $g_j$ liên tục và mịn hơn nghiêm ngặt tôpô lồi địa phương mịn nhất $\mathscr{T}$ làm cho các $g_j$ liên tục. (Chú ý rằng tập hợp V của các $x = (\xi_\lambda)_{\lambda \in I}$ trong E sao cho $\sum_{\lambda \in I} |\xi_\lambda|^{1/2} \leq 1$ là một lân cận của 0 đối với một tôpô tương thích với cấu trúc không gian vectơ của E, không chứa bất kỳ tập hợp hấp thụ, đối xứng, lồi nào.)