Exercice 16, § 4

a) Soit E un espace vectoriel ayant une base dénombrable. Montrer que la topologie localement convexe la plus fine sur E est la plus fine des topologies sur E (compatibles ou non avec la structure d’espace vectoriel de E) qui induisent sur chaque sous-espace de E de dimension finie la topologie canonique. b) Soient $E_0$ un espace de Banach de dimension infinie, E l’espace vectoriel somme directe de $E_0$ et de $\mathbf{R}^{(N)}$, $E_p$ le sous-espace de E somme directe de $E_0$ et de $\mathbf{R}^p$ (identifié au produit des $p$ premiers facteurs de $\mathbf{R}^{(N)}$) ; on munit $E_p$ de la topologie produit de celles de ses facteurs, de sorte que la topologie de $E_p$ est induite par celle de $E_{p+1}$. Montrer que sur $E$ la topologie limite inductive de celles des $E_p$ n’est pas la plus fine des topologies (compatibles ou non avec la structure d’espace vectoriel de $E$) qui induisent sur chaque $E_p$ une topologie moins fine que celle de $E_p$. On pourra procéder de la façon suivante :

$\alpha$ Soit $q$ une norme sur $E_0$ définissant une topologie strictement moins fine que celle de $E_0$ (II, p. 79, exerc. 5). Pour tout $\varepsilon > 0$, on définit une application $f_\varepsilon$ de $E_0$ dans $\mathbf{R}_+$ par la relation $f_\varepsilon(x) = \sup(q(x), \varepsilon - \|x\|)$. Montrer que $f_\varepsilon$ est continue et $> 0$ dans $E_0$ et que $\inf_{\|x\|=\varepsilon} f_\varepsilon(x) = 0$.

$\beta$ Soit $U$ la partie de $E$ formée des $(x, (t_n))$ tels que $t_n < f_{1/n}(x)$ pour tout $n$. Montrer que $U \cap E_p$ est ouvert dans $E_p$ pour tout $p$.

$\gamma$ Montrer que si $V \subset U$ est un ensemble convexe absorbant, $V \cap E_0$ ne peut contenir aucune boule de centre 0 dans $E_0$.