Bài tập 16, § 4

a) Cho E là một không gian vectơ với một cơ sở đếm được. Chứng minh rằng tôpô lồi địa phương mạnh nhất trên E là mạnh nhất trong các tôpô trên E (tương thích hoặc không tương thích với cấu trúc không gian vectơ của E) cảm sinh tôpô chính tắc trên mọi không gian con hữu hạn chiều của E. b) Cho $E_0$ là một không gian Banach vô hạn chiều. Cho E là không gian vectơ là tổng trực tiếp của $E_0$ và $\mathbf{R}^{(N)}$ và cho $E_p$ là không gian con của E là tổng trực tiếp của $E_0$ và $\mathbf{R}^p$ (đồng nhất như tích của p nhân tử đầu tiên của $\mathbf{R}^{(N)}$; ta trang bị cho $E_p$ tôpô tích của các tôpô của các nhân tử của nó, sao cho tôpô của $E_p$ được cảm sinh bởi tôpô của $E_{p+1}$. Chứng minh rằng trên E, tôpô giới hạn quy nạp của các tôpô của $E_p$ không phải là mạnh nhất trong các tôpô (tương thích hoặc không tương thích với cấu trúc không gian vectơ của E) cảm sinh trên mỗi $E_p$ một tôpô thô hơn tôpô của $E_p$. Ta có thể tiến hành như sau : $\alpha)$ Cho q là một chuẩn trên $E_0$ xác định một tôpô thực sự thô hơn tôpô của $E_0$ (II, p. 74, exerc. 5). Với mọi $\varepsilon > 0$ hãy định nghĩa một ánh xạ $f_\varepsilon$ của $E_0$ vào $\mathbf{R}_+$ bởi quan hệ $f_\varepsilon(x) = \sup(q(x), \varepsilon - \|x\|)$. Chứng minh rằng $f_\varepsilon$ là liên tục và $> 0$ trong $E_0$ và rằng $\inf_{\|x\| = \varepsilon} f_\varepsilon(x) = 0$. $\beta)$ Cho U là tập con của E tạo bởi các $(x, (t_n))$ sao cho $t_n < f_{1/n}(x)$ với mọi n. Chứng minh rằng $U \cap E_p$ là mở trong $E_p$ với mọi p. $\gamma)$ Chứng minh rằng nếu $V \subset U$ là một tập lồi hấp thụ, thì $V \cap E_0$ không thể chứa bất kỳ quả cầu nào có tâm 0 trong $E_0$.