Exercice 17, § 4

Pour toute partie $A$ d’un groupe commutatif $G$, noté additivement, et tout entier $n > 0$, on note $\overset{n}{+} A$ l’ensemble des éléments de la forme $\sum_{i=1}^n x_i$, où $x_i \in A$ pour tout $i$. On dit qu’une partie $A$ de $G$ est convexe si, pour tout entier $n > 0$, la relation $nx \in \overset{n}{+} A$ entraîne $x \in A$.

$a$ Montrer que si un groupe topologique commutatif $G$ (noté additivement) est isomorphe à un sous-groupe du groupe additif d’un espace vectoriel localement convexe (muni de la topologie induite), il existe dans $G$ un système fondamental de voisinages de 0 convexes et symétriques.

$b$ Inversement, soit $G$ un groupe commutatif (noté additivement) topologique séparé, dans lequel il existe un système fondamental $\mathscr{B}$ de voisinages de 0 convexes et symétriques. Montrer que $G$ est sans torsion, et peut par suite être considéré (algébriquement) comme sous-groupe du groupe additif d’un espace vectoriel $E$ sur le corps $\mathbf{Q}$ (A, II, p. 117, cor. 1). Pour tout ensemble $V \in \mathscr{B}$, soit $\tilde{V}$ l’ensemble des éléments $rx$, où $x \in V$ et $r$ parcourt l’ensemble des nombres rationnels tels que $0 \leq r \leq 1$; montrer que $\tilde{V}$ est symétrique et convexe (au sens défini ci-dessus). En déduire que si, en outre, il n’existe aucun sous-groupe ouvert de $G$ distinct de $G$ lui-même, les ensembles $\tilde{V}$ forment un système fondamental de voisinages de 0 pour une topologie compatible avec la structure d’espace vectoriel de $E$ sur $\mathbf{Q}$ ($\mathbf{Q}$ étant muni de sa topologie usuelle); conclure que dans ce cas $G$ est isomorphe à un sous-groupe du groupe additif d’un espace localement convexe séparé.

$c$ Soit $G$ le groupe $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$, ordonné lexicographiquement (A, VI, p. 7); on considère sur $G$ la topologie séparée $\mathscr{J}_0(G)$, qui est compatible avec sa structure de groupe (TG, IV, p. 45, exerc. 1). Montrer que pour cette topologie il existe un système fondamental de voisinages de 0 convexes et symétriques, mais que $G$ n’est isomorphe à aucun sous-groupe du groupe additif d’un espace vectoriel topologique séparé sur $\mathbf{R}$.