Bài tập 17, § 4

Đối với một tập con A của một nhóm giao hoán G, được viết theo phép cộng, và với mỗi $n > 0$ ký hiệu tập hợp các phần tử có dạng $\sum_{i=1}^n x_i$, trong đó $x_i \in A$ với mọi i, bởi $^n + A$. Ta nói rằng tập hợp A của G là lồi nếu, với mọi số nguyên $n > 0$, quan hệ $nx \in ^n + A$ kéo theo $x \in A$. a) Chứng minh rằng nếu một nhóm tôpô giao hoán G (được viết theo phép cộng) đẳng cấu với một nhóm con của nhóm cộng của một không gian vectơ lồi địa phương (với tôpô cảm sinh), thì tồn tại một hệ cơ bản các lân cận lồi đối xứng của 0 trong G. b) Ngược lại, cho G là một nhóm giao hoán tôpô Hausdorff (được viết theo phép cộng) trong đó tồn tại một hệ cơ bản, $\mathfrak{B}$, các lân cận lồi đối xứng của 0. Chứng minh rằng G không có xoắn, và do đó có thể được xem xét (về mặt đại số) như một nhóm con của nhóm cộng của một không gian vectơ trên trường $\mathbf{Q}$ (A, II, § 7.10, hệ quả 1 của mệnh đề 26). Với mỗi tập hợp $V \in \mathfrak{B}$, gọi $\tilde{V}$ là tập hợp các phần tử $rx$ trong đó $x \in V$ và r biến thiên trong tập hợp các số hữu tỉ sao cho $0 \leq r \leq 1$; chứng minh rằng $\tilde{V}$ là đối xứng và lồi (theo nghĩa đã định nghĩa ở trên). Suy ra thêm rằng nếu không có nhóm con mở nào của G phân biệt với chính G, thì các tập hợp $\tilde{V}$ tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của 0 đối với một tôpô tương thích với cấu trúc không gian vectơ của E trên $\mathbf{Q}$ ($\mathbf{Q}$ được trang bị tôpô thông thường của nó); kết luận rằng trong trường hợp này G đẳng cấu với một nhóm con của nhóm cộng của một không gian lồi địa phương Hausdorff. c) Cho G là nhóm $\mathbf{R} \times \mathbf{R}$ có thứ tự theo từ điển (A, VI, p. 7); xét tôpô Hausdorff $\mathscr{T}_0(G)$ trên G tương thích với cấu trúc nhóm của nó (GT, IV, § 1, exerc. 1). Chứng minh rằng đối với tôpô này tồn tại một hệ cơ bản các lân cận lồi đối xứng của 0, nhưng G không đẳng cấu với bất kỳ nhóm con nào của nhóm cộng của một không gian vectơ tôpô Hausdorff trên trường $\mathbf{R}$.