Exercice 6, § 4

Soit E un espace vectoriel muni de la topologie localement convexe la plus fine. a) Montrer que tout sous-espace vectoriel de E est fermé, et que si M et N sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E, E est somme directe topologique de M et N. Si $(e_i)_{i \in I}$ est une base de E, E est somme directe topologique de ses sous-espaces $Re_i$. b) Soit F un espace localement convexe, dont la topologie est aussi la topologie localement convexe la plus fine. Montrer que toute application linéaire de E dans F est un morphisme strict.