Bài tập 6, § 4

Cho E là một không gian vectơ với tôpô lồi địa phương mịn nhất của nó. a) Chứng minh rằng mọi không gian con vectơ của E đều đóng, và rằng, nếu M, N là hai không gian con là các phần bù vectơ trong E, thì E là tổng tôpô trực tiếp của M và N. Nếu $(e_i)_{i \in I}$ là một cơ sở của E, thì E là tổng tôpô trực tiếp của các không gian con $\mathbf{R} e_i$. b) Cho F là một không gian lồi địa phương mà tôpô của nó cũng là tôpô lồi địa phương mịn nhất. Chứng minh rằng mọi ánh xạ tuyến tính từ E vào F là một cấu xạ ngặt.