Exercice 9, § 4

Soient E et F deux espaces vectoriels munis tous deux de la topologie localement convexe la plus fine. a) Montrer que si E et F ont chacun une base dénombrable, toute application bilinéaire de $E \times F$ dans un espace localement convexe G est continue (utiliser le th. de Du Bois-Reymond (FVR, V, p. 53, exerc. 8)).

b) Si l’un des espaces E, F a une base ayant la puissance du continu, montrer qu’il existe une forme bilinéaire non continue dans $E \times F$. (Se ramener au cas où $E = \mathbf{R}^{(N)}$, $F = \mathbf{R}^N$, de sorte que F s’identifie à $E^*$, et que les formes bilinéaires sur $E \times F$ correspondent biunivoquement aux applications linéaires de $E^*$ dans lui-même ; considérer alors l’application identique de $E^*$, et observer que dans $\mathbf{R}^N$, un ensemble compact pour la topologie produit ne peut être absorbant.)