Bài tập 9, § 4

Cho E và F là hai không gian vectơ mỗi không gian được trang bị tôpô lồi địa phương mịn nhất của nó. a) Chứng minh rằng nếu E và F mỗi không gian đều có một cơ sở đếm được thì mọi ánh xạ song tuyến tính của $E \times F$ vào một không gian lồi địa phương G đều liên tục (sử dụng định lý Du Bois-Reymond FVR, V, p. 53, bài tập 8)). b) Nếu một trong các không gian E, F có một cơ sở với lực lượng bằng lực lượng của continuum, chứng minh rằng tồn tại một dạng song tuyến tính không liên tục trên $E \times F$. (Rút gọn về trường hợp $E = \mathbf{R}^{(\mathbf{N})}$, $F = \mathbf{R}^{\mathbf{N}}$, sao cho F có thể được đồng nhất với $E^*$ và các dạng song tuyến tính trên $E \times F$ tương ứng song ánh với các ánh xạ tuyến tính của $E^*$ vào chính nó; khi đó xét ánh xạ đồng nhất của $E^*$, và chú ý rằng trong $\mathbf{R}^{\mathbf{N}}$, một tập compact đối với tôpô tích không thể hấp thụ.)