Exercice 15, § 5

Soient S, T deux ensembles finis dans $\mathbf{R}^n$, sans point commun, et tels que l’on ait $\mathrm{Card}(S \cup T) \geq n + 2$. Afin qu’il existe un hyperplan séparant strictement S et T, il faut et il suffit que pour tout ensemble fini $F \subset S \cup T$ de $n + 2$ points, il existe un hyperplan séparant strictement $F \cap S$ et $F \cap T$ (utiliser le th. de Helly (II, p. 73, exerc. 21)). Montrer que dans cet énoncé on ne peut remplacer le nombre $n + 2$ par $n + 1$, et que l’énoncé ne s’étend pas au cas où S et T sont infinis.