Exercice 18, § 5

Dans un espace vectoriel topologique $E$, soient $A_i$ ($1 \leq i \leq n$) $n$ ensembles ouverts convexes non vides. a) Montrer que si la réunion des $A_i$ est distincte de $E$, pour tout point $x \in E$ n’appartenant à aucun des $A_i$, il existe une variété linéaire fermée de codimension $n$ contenant $x$ et ne rencontrant aucun des $A_i$ (raisonner par récurrence sur $n$). b) Si l’intersection des $A_i$ est vide, montrer qu’il existe une variété linéaire fermée de codimension $n - 1$ dans $E$ ne rencontrant aucun des $A_i$ (même méthode).