Bourbaki

Exercice 19, § 5

Espaces vectoriels topologiques, II, p. 84

Dans un espace vectoriel topologique séparé EE, soient C,C′C, C' deux ensembles convexes fermés, HH un hyperplan fermé séparant strictement CC et C′C', H′H' un hyperplan d’appui fermé de CC et de C′C' à la fois, tel que CC et C′C' soient d’un même côté de H′H'. Montrer que H′H' est le seul hyperplan ayant ces propriétés et contenant H∩H′H \cap H', et que H∩H′H \cap H' est un hyperplan d’appui de la trace PP sur HH de l’enveloppe convexe de C∪C′C \cup C'. Réciproquement, si CC et C′C' sont compacts, pour tout hyperplan d’appui DD de PP dans HH, il existe un hyperplan d’appui H′H' de CC et C′C' à la fois, contenant DD, et pour lequel CC et C′C' sont du même côté de H′H'.

Solution

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Transcrit du volume imprimé. Non traduit.