Exercice 23, § 5

Soient E un espace vectoriel topologique, $\mathscr{T}$ la topologie localement convexe sur E la plus fine de celles qui sont moins fines que la topologie donnée $\mathscr{T}_0$ sur E. Si F est un espace localement convexe, les applications linéaires continues de E dans F sont les mêmes pour $\mathscr{T}_0$ et $\mathscr{T}$. Pour qu’il existe sur E une forme linéaire continue distincte de la forme nulle, il faut et il suffit qu’il existe un voisinage de 0 pour $\mathscr{T}_0$ dont l’enveloppe convexe ne soit pas partout dense (pour $\mathscr{T}_0$) (cf. I, p. 25, exerc. 4).