Exercice 25, § 5

Soit E un espace de Fréchet de dimension infinie et de type dénombrable (possédant donc une partie dénombrable partout dense) (cf. I, p. 25, exerc. 1). Montrer qu’il existe un hyperplan H partout dense dans E, rencontrant toutes les variétés linéaires fermées de E de dimension infinie. (Utiliser l’existence, dans chacun des sous-espaces directeurs de ces variétés, d’une base ayant la puissance du continu (exerc. 24, c)) et le fait que l’ensemble des variétés linéaires fermées de E de dimension infinie a aussi la puissance du continu (TG, IX, p. 114, exerc. 17) ; appliquer alors un procédé de construction d’une forme linéaire sur E, inspiré de E, III, p. 91, exerc. 24). L’hyperplan H ne contient alors aucun sous-espace vectoriel fermé de dimension infinie.