Exercice 1, § 6

Soient F, G deux espaces vectoriels en dualité, tels que σ(F, G) soit séparée. Montrer que si $\mathscr{T}$ est une topologie séparée compatible avec la structure d’espace vectoriel de F, moins fine que σ(F, G) (mais non nécessairement localement convexe a priori), alors on a $\mathscr{T} = \sigma(F, G_1)$, où $G_1$ est un sous-espace vectoriel de G, dense pour la topologie σ(G, F). (Considérer sur F la topologie localement convexe $\mathscr{T}_1$ dont un système fondamental de voisinages de 0 est constitué par les ensembles convexes équilibrés, fermés pour $\mathscr{T}$ et qui sont des voisinages de 0 pour σ(F, G).) En déduire que si $\mathscr{T}_0$ est une topologie localement convexe séparée sur un espace vectoriel E, minimale dans l’ensemble des topologies localement convexes séparées sur E (II, p. 90, exerc. 13), elle est aussi minimale dans l’ensemble des topologies (localement convexes ou non) séparées et compatibles avec la structure d’espace vectoriel de E.