Exercice 10, § 6

A tout ensemble convexe compact A dans E = R^n contenant 0, on fait correspondre sa fonction d’appui H_A pour la dualité entre E et E*: H_A appartient à l’espace C(E* ; R) des fonctions numériques continues dans E*. On munit l’espace C(E* ; R) de la structure uniforme de la convergence compacte, et l’ensemble R'_0(E) des ensembles convexes compacts dans E contenant 0 de la structure uniforme définie dans l’exerc. 39 de II, p. 75. Montrer que A ↦ H_A est un isomorphisme de R'_0(E) sur un sous-espace uniforme de C(E* ; R). En déduire que l’application A ↦ A° de l’ensemble R_0(E) des ensembles convexes compacts dans E ayant 0 pour point intérieur, sur l’ensemble R_0(E*), est un isomorphisme pour les structures uniformes de ces deux espaces (cf. II, p. 75, exerc. 39).