Bài tập 10, § 6

Với mỗi tập lồi compact A trong $E = \mathbf{R}^n$ chứa 0, ta cho tương ứng hàm tựa của nó $H_A$ bởi đối ngẫu giữa E và $E^* : H_A$ thuộc không gian $\mathscr{C}(E^* ; \mathbf{R})$ các hàm giá trị thực liên tục trên $E^*$. Ta gán cho không gian $\mathscr{C}(E^* ; \mathbf{R})$ cấu trúc đều của sự hội tụ compact và, cho tập $\mathfrak{K}_0'(E)$ các tập lồi compact trong E chứa 0, cấu trúc đều được xác định trong Bài tập 39 của II, p. 71. Chứng minh rằng $A \mapsto H_A$ là một đẳng cấu của $\mathfrak{K}_0'(E)$ lên một không gian con đều của $\mathscr{C}(E^* ; \mathbf{R})$. Suy ra rằng ánh xạ $A \mapsto A^\circ$ của tập $\mathfrak{K}_0(E)$ các tập lồi compact trong E mà chứa 0 như một điểm trong, lên tập $\mathfrak{K}_0(E^*)$, là một đẳng cấu đối với các cấu trúc đều của hai không gian này (cf. II, p. 71, Bài tập 39).