Exercice 12, § 6

a) Soient E un espace vectoriel, $(E_\alpha)_{\alpha \in A}$ une famille filtrante croissante de sous-espaces de E, de réunion E ; chaque $E_\alpha$ est supposé muni d’une topologie localement convexe $\mathscr{T}_\alpha$ telle que pour $\alpha \leq \beta$ l’injection canonique $E_\alpha \to E_\beta$ soit continue. Soit $\mathscr{T}$ la topologie sur E, limite inductive des $\mathscr{T}_\alpha$ (II, p. 31, Exemple II) ; montrer que le dual $E'$ de E (pour $\mathscr{T}$) muni de $\sigma(E', E)$, s’identifie canoniquement à la limite projective des duals $E'_\alpha$, munis de $\sigma(E'_\alpha, E_\alpha)$. b) Soit $(X_\alpha, \varphi_{\alpha\beta})$ un système projectif d’ensembles non vides correspondant à un ensemble d’indices filtrant A, tel que les $\varphi_{\alpha\beta}$ soient surjectives et que $\lim X_\alpha = \emptyset$ (E, III, p. 94, exerc. 4). On pose $F_\alpha = \mathbf{R}^{(X_\alpha)}$ et on désigne par $f_{\alpha\beta} : F_\beta \to F_\alpha$ pour $\alpha \leq \beta$ l’application linéaire déduite canoniquement de $\varphi_{\alpha\beta}$ (A, II, p. 24, cor. 1). Si on munit chaque $F_\alpha$ de la topologie somme directe de celles de ses facteurs, le dual $E_\alpha = F'_\alpha$ de $F_\alpha$, muni de la topologie faible $\sigma(E_\alpha, F_\alpha)$, s’identifie à l’espace produit $\mathbf{R}^{X_\alpha}$, et $f_{\alpha\beta}'$ est un isomorphisme de $E_\alpha$ sur un sous-espace fermé de $E_\beta$, admettant dans $E_\beta$ un supplémentaire topologique. Montrer que sur $E = \lim E_\alpha$ (pour les $f_{\alpha\beta}'$) la topologie limite inductive de celles des $E_\alpha$ est la topologie la moins fine (donc non séparée) (utiliser a) en notant que $\lim F_\alpha = \{0\}$).