Bài tập 12, § 6

*a) Cho E là một không gian vectơ và $(E_\alpha)_{\alpha \in A}$ là một họ có hướng tăng các không gian con của E, có hợp là E; mỗi $E_\alpha$ được giả sử mang một tôpô lồi địa phương $\mathscr{T}_\alpha$ sao cho với $\alpha \leq \beta$ đơn ánh chính tắc $E_\alpha \to E_\beta$ là liên tục. Gọi $\mathscr{T}$ là tôpô trên E, là giới hạn quy nạp của các $\mathscr{T}_\alpha$ (II, p. 29, Ví dụ II); hãy chỉ ra rằng đối ngẫu $E'$ của E (đối với $\mathscr{T}$) với tôpô $\sigma(E', E)$ có thể được đồng nhất một cách chính tắc với giới hạn xạ ảnh của các đối ngẫu $E'_\alpha$, với tôpô $\sigma(E'_\alpha, E_\alpha)$. b) Cho $(X_\alpha, \phi_{\alpha\beta})$ là một hệ xạ ảnh của các tập hợp khác rỗng tương ứng với một tập có hướng các chỉ số A, sao cho $\phi_{\alpha\beta}$ là toàn ánh và $\lim X_\alpha = \varnothing$ (S, III, § 7, exerc. 4). Đặt $F_\alpha = \mathbf{R}^{(X_\alpha)}$ và ký hiệu bởi $f_{\alpha\beta} : F_\beta \to F_\alpha$ với $\alpha \leq \beta$ ánh xạ tuyến tính được suy ra một cách chính tắc từ $\phi_{\alpha\beta}$

(A, II, § 1.11, cor. 1). Nếu ta trang bị cho mỗi $F_\alpha$ tôpô là tôpô tổng trực tiếp của các thừa số của nó, thì đối ngẫu $E_\alpha = F'_\alpha$ của $F_\alpha$, với tôpô yếu $\sigma(E_\alpha, F_\alpha)$, có thể được đồng nhất với không gian tích $\mathbf{R}^{x_\alpha}$, và $f'_{\alpha\beta}$ là một đẳng cấu của $E_\alpha$ lên một không gian con đóng của $E_\beta$, có một phần bù tôpô trong $E_\beta$. Hãy chỉ ra rằng trên $E = \lim_{\leftarrow} E_\alpha$ (đối với các $f'_{\alpha\beta}$) tôpô là giới hạn quy nạp của các tôpô của $E_\alpha$ là tôpô thô nhất (do đó không Hausdorff) (sử dụng $a$) và nhận xét rằng $\lim_{\leftarrow} F_\alpha = \{0\}$.