Exercice 19, § 6

a) Soient E un produit de droites, A un ensemble convexe fermé dans E, non compact et tel que $C_A = \{0\}$ (exerc. 18). Montrer que si $B = A - A$ et si M est l’enveloppe fermée convexe de $A \cup (-A)$, B et M contiennent des droites (utiliser l’exerc. 16, b) de II, p. 91). b) Soient $A_1, A_2$ deux ensembles convexes fermés dans E tels que $A_1 + A_2$ soit fermé et que ni $A_1$, ni $A_2$, ni $A_1 + A_2$ ne contiennent de droite affine. Montrer que $C_{A_1 + A_2} = C_{A_1} + C_{A_2}$ (utiliser l’exerc. 16, b) de II, p. 91). c) Soient A un ensemble convexe fermé dans E ne contenant pas de droite affine, $M_1, ..., M_n$ des ensembles convexes fermés contenus dans A. Si B est l’enveloppe convexe de $\bigcup_i M_i$, montrer que l’on a $\overline{B} = B + \sum_i C_{M_i}$ et $C_B = \sum_i C_{M_i}$ (même méthode).